为什么\(e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\)？
这不仅是数学中的一个“神奇公式”，更是无线通信、信号处理、量子力学等领域的基石之一。
我们来从直观理解 + 数学推导 + 工程意义三个层面，一步步揭开它的神秘面纱。
🌟 一、先说结论（一句话总结）
✅ 欧拉公式\(e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\)
是因为：复指数函数的幂级数展开，恰好等于三角函数的组合。
但这还不够“懂”。我们往下深挖。
🔍 二、从“泰勒展开”出发：为什么这个等式成立？
我们从 无穷级数 开始，看看\(e^{j\theta}\)、\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\)分别长什么样。
1.\(e^x\)的泰勒展开（对任意实数 x）
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\]
2. 把\(x = j\theta\)代入：
\[e^{j\theta} = 1 + j\theta + \frac{(j\theta)^2}{2!} + \frac{(j\theta)^3}{3!} + \frac{(j\theta)^4}{4!} + \cdots
\]
现在我们来算一下\(j^n\)的规律：
n
\(j^n\)
值
0
\(j^0\)
1
1
\(j^1\)
j
2
\(j^2\)
-1
3
\(j^3\)
-j
4
\(j^4\)
1
5
\(j^5\)
j
...
...
...
👉 所以它是 每 4 项循环一次：1, j, -1, -j, 1, j, ...
代入原式：
\[e^{j\theta} =
\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)
+ j\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)
\]
👉 注意！括号里的部分正是：
-\(\cos\theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\)
-\(\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\)
所以：
\[\boxed{e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta}
\]
✅ 证毕！
🎯 这就是欧拉公式的真正来源：不是凭空猜出来的，而是从幂级数自然推导出来的结果。
🌀 三、几何直觉：复平面上的旋转
想象你在复平面上画一个单位圆：
实轴：横向（cosθ）
虚轴：纵向（sinθ）
那么：
点\((\cos\theta, \sin\theta)\)就是单位圆上角度为 θ 的点
它对应的复数就是：\(\cos\theta + j\sin\theta\)
而\(e^{j\theta}\)，正好也代表这个点！
👉 所以：
\(e^{j\theta}\)是复平面上从 1 出发，沿单位圆逆时针旋转 θ 弧度的位置！
📌 举个例子：
θ
\(e^{j\theta}\)
几何意义
0
1
起点（右端）
π/2
j
向上（90°）
π
-1
向左（180°）
3π/2
-j
向下（270°）
2π
1
回到起点
✅ 所以：\(e^{j\theta}\)就是“旋转”的数学表达式！
📡 四、为什么无线通信要用它？（工程意义）
回到你最初的问题：信号如何调制？
✅ 1. 载波信号 =\(\cos(\omega t)\)→ 也可以写成：
\[\cos(\omega t) = \text{Re}(e^{j\omega t}) \quad \text{（取实部）}
\]
同理：
\[\sin(\omega t) = \text{Im}(e^{j\omega t}) \quad \text{（取虚部）}
\]
👉 所以，我们完全可以用复指数来表示正弦波！
✅ 2. 调制：QPSK 用复数表示符号
比如 QPSK 的四个符号：
\(1 + j\)
\(-1 + j\)
\(-1 - j\)
\(1 - j\)
它们分别对应相位：0°, 90°, 180°, 270°
而这些都可以写成：
\[s_k = e^{j\phi_k}, \quad \phi_k \in \{0, \pi/2, \pi, 3\pi/2\}
\]
✅ 所以：QPSK 的每一个符号就是一个复数单位向量！
✅ 3. 混频 = 复数乘法
当你要把一个基带信号\(s(t) = I(t) + jQ(t)\)搬移到 2.4GHz 载波上：
\[s_{\text{RF}}(t) = \text{Re}\left[ (I(t) + jQ(t)) \cdot e^{j\omega_c t} \right]
\]
👉 这个操作在数学上就是：复数相乘 → 相位移动 + 幅度缩放
✅ 用复数表示，混频变成了简单的乘法，而不是复杂的三角恒等变换！
🎯 五、一句话总结（终极版）
\(e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\)，
是因为：复指数的泰勒展开，刚好等于余弦和正弦的级数之和；
它在几何上代表复平面上的旋转；
在工程上，它让我们能用复数统一表示幅度和相位，
让调制、解调、滤波变得无比简洁！
💡 附加彩蛋：欧拉公式之美
这个公式被称为“数学中最美的公式”之一，因为它连接了五个最重要的数学常数：
\[e^{j\pi} + 1 = 0
\]
👉 当\(\theta = \pi\)时：
\[e^{j\pi} = \cos\pi + j\sin\pi = -1 + j\cdot 0 = -1
\Rightarrow e^{j\pi} + 1 = 0
\]
✨ 五个世界顶级常数：
\(e\)（自然对数底）
\(i\)（虚数单位，这里用 j）
\(\pi\)（圆周率）
1（乘法单位元）
0（加法单位元）
🎉 简直像一首数学诗！