2025-11-13 06:37:48

八个皇后在8x8棋盘上共有4,426,165,368(64C8)种摆放方法,但皇后间互不攻击只有11×8 + 1×4 = 92个“可行解”。如果将在旋转和反射下重合的可行解归为一种的话,则一共有12个“独立解”(fundamental solution),具体如下:

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解1

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解2

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解3

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解4

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解5

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解6

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解7

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解8

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解9

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解10

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解11

abcdefgh8877665544332211abcdefgh独立解12

一个独立解通常有8个变体(含其最初形式),可以先对其进行旋转90°、180°和270°,加上其最初形式形成4个旋转变体,再针对一个固定位置比如纵轴进行反射(字母p的垂直反射是字母q),从而得到8个变体。但独立解10旋转180°形式与最初形式重合,并且旋转270°形式与旋转90°形式重合,所以只有4种变体即自身及其反射和90°旋转及其反射。

独立解11具有额外的性质无三皇后在一线(英语:No-three-in-line problem)。

独立解3的旋转90°再垂直反射(效果同于45°反射)的变体,体现了阶梯状模式而被称为“楼梯解”,n皇后问题对n ≥ 4可通过特定公式得到楼梯解[4][5]:

如果n除以6的余数不是2或者3,则这个列表简单的就是不大于n的所有偶数以及随后的所有奇数。

否则,写出偶数和奇数的单独列表,比如:(2, 4, 6, 8 – 1, 3, 5, 7)。

如果余数是2,在奇数列表中交换1和3并移动5到末尾,比如:(3, 1, 7, 5)。

如果余数是3,在偶数列表中移动2到末尾并在奇数列表中移动1和3到末尾,比如:(4, 6, 8, 2 – 5, 7, 9, 1, 3)。

将奇数列表附加在偶数列表之后并从左至右的在这些横行上放置皇后,比如:(a2, b4, c6, d8, e3, f1, g7, h5)。

八皇后问题的12个独立解之间没有由数学性质决定出的次序,这里的独立解次序和所采用的变体是求独立解的特定搜索算法的输出结果(第一个解在棋盘左下角或左上角有一个皇后),不加以人为调整,比如:将独立解3的楼梯变体放在最前,将独立解10放在最后等等。

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